Question

一直函數(shù)f（x）=log_a

1-x

1+x

（a＞0，a≠1）．
（1）學(xué)生甲求出f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）；學(xué)生乙求出f（x）的定義域為（-1，1）；學(xué)生丙求出f（x）的定義域為（-∞，-1），（1，+∞）．你認(rèn)為誰正確？
（2）請判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）請判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=log_a

1-x

1+x

，可得

1-x

1+x

＞0，由此求得函數(shù)的定由于，可得學(xué)生乙正確．
（2）由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）由于t=

1-x

1+x

=-1+

2

x+1

 在定義域上是減函數(shù)，f（x）=log_at，分當(dāng)a＞1時和當(dāng)0＜a＜1時兩種情況，分別根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律求得函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=log_a

1-x

1+x

，可得

1-x

1+x

＞0，即

x-1

x+1

＜0，解得-1＜x＜1，故學(xué)生乙正確．
（2）由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）=log

1+x

1-x

=-log

1-x

1+x

=-f（x），
故函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）由于t=

1-x

1+x

=-

x-1

x+1

=-

x+1-2

x+1

=-1+

2

x+1

 在定義域（-1，1）上是減函數(shù)，f（x）=log_at，
故當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)，
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．