Question

已知：由五個(gè)直角邊為

2

的等腰直角三角形拼成如圖所示的平面凹五邊形ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD．

（1）求證：FB⊥AD；
（2）求二面角C-EF-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）作FO⊥AD于O，連結(jié)OB，由已知得O為AD中點(diǎn)，BO⊥AD，從而AD⊥平面FOB，由此能證明FB⊥AD．
（2）由已知得∠ADC=90°，CD⊥AD，CD⊥平面ADEF，作DM⊥EF，連結(jié)MC，則∠DMC是二面角C-EF-D的平面角，
由此能求出二面角C-EF-D的正切值．

解答： （1）證明：作FO⊥AD于O，連結(jié)OB，
∵等腰直角△AFD，∴O為AD中點(diǎn)，
∴等腰直角△ABD，∴BO⊥AD，
∵FO∩BO=O，∴AD⊥平面FOB，
∴FB⊥AD．
（2）解：∵等腰直角△ADB和等腰直角△CDB，
∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ACD，平面ADEF∩平面ACD=AD，
∴CD⊥平面ADEF，作DM⊥EF，連結(jié)MC，
∠DMC是二面角C-EF-D的平面角，
在Rt△MDC中，∠MDC=90°，MD=1，DC=2，
∴tan∠DMC=2，
∴二面角C-EF-D的正切值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空思維能力的培養(yǎng)．