Question

9．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)A（1，-2）
（1）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）是否存在平行于OA的直線（O為原點(diǎn)）L，使得直線L與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與L的距離等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出直線L的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將（1，-2）代入拋物線方程求得p，則拋物線方程可得，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得其準(zhǔn)線方程．
（2）先假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)出其方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與拋物線方程有公共點(diǎn)，求得t的范圍，利用直線AO與L的距離，求得t，則直線l的方程可得．

解答 解：（1）將（1，-2）代入拋物線方程y²=2px，
得4=2p，p=2
∴拋物線C的方程為：y²=4x，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得y²+2y-2t=0，
∵直線l與拋物線有公共點(diǎn)，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-$\frac{1}{2}$
又∵直線OA與L的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求得t=±1
∵t≥-$\frac{1}{2}$
∴t=1
∴符合題意的直線l存在，方程為2x+y-1=0．

點(diǎn)評 本題小題主要考查了直線，拋物線等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類討論與整合思想．