Question

已知f（x）=alnx，g（x）=f（x）+bx²+cx，且f′（2）=1，g（x）在x=

1

2

和x=2處有極值．
（1）求實數(shù)a，b，c的值；
（2）若k＞0，判斷g（x）在區(qū)間（k，2k）內(nèi)的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x），g′（x），根據(jù)已知條件能得到f′（2）=1，g′（

1

2

）=0，g′（2）=0三個關(guān)于a，b，c的方程組成的方程組，解方程組即可；
（2）求出g′（x），根據(jù)g′（x）的符號判斷函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，討論k，看區(qū)間（k，2k）在（0，+∞）上的分布情況，從而判斷函數(shù)g（x）在（k，2k）內(nèi)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

，g′（x）=f′（x）+2bx+c=

a

x

+2bx+c；
由已知條件知：

f′(2)= a 2 =1 g′( 1 2 )=2a+b+c=0 g′(2)= a 2 +4b+c=0

，解得a=2，b=1，c=-5；
（2）g（x）=2lnx+x²-5x，g′（x）=

2

x

+2x-5=

(x-2)(2x-1)

x

；
∴x∈（0，

1

2

），（2，+∞）時，g′（x）＞0；x∈（

1

2

，2）時，g′（x）＜0；
∴函數(shù)g（x）在（0，

1

2

），（2，+∞）上單調(diào)遞增；在（

1

2

，2）上單調(diào)遞減；
∴若0＜k＜2k≤

1

2

，即0＜k≤

1

4

時，g（x）在（k，2k）內(nèi)的單調(diào)遞增；
若0＜k＜

1

2

＜2k＜2，即

1

4

＜k＜

1

2

時，g（x）在（k，

1

2

]內(nèi)的單調(diào)遞增，在（

1

2

，2k）內(nèi)的單調(diào)遞減；
若

1

2

≤k＜2k≤2，即

1

2

≤k≤1時，g（x）在（k，2k）內(nèi)的單調(diào)遞減；
若

1

2

＜k＜2＜2k，即1＜k＜2時，g（x）在（k，2）內(nèi)的單調(diào)遞減，在（2，2k）內(nèi)的單調(diào)遞增；
若k≥2，g（x）在（k，2k）內(nèi)的單調(diào)遞增．

點評：本題考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)取值情況，極值點的概念，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性．