Question

16．已知函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos2x，其中x∈R，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）是最小正周期為π的奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x=$\frac{2π}{3}$；
③函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{5π}{12}$，0）；
④函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
其中正確的結(jié)論序號(hào)②③④  

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），由定義判斷函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，判斷①錯(cuò)誤；
由f（$\frac{2π}{3}$）=1取得最大值，得出直線x=$\frac{2π}{3}$是f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸，判斷②正確；
由f（$\frac{5π}{12}$）=0，得出點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，0）是f（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，判斷③正確；
由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，判斷④正確．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos2x=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），其中x∈R：
對(duì)于①，f（-x）=-sin（-2x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）≠-f（x），
∴函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)x=$\frac{2π}{3}$時(shí)，f（$\frac{2π}{3}$）=-sin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=1為最大值，
∴函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x=$\frac{2π}{3}$，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，f（$\frac{5π}{12}$）=-sin（2×$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=0，
∴函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{5π}{12}$，0），③正確；
對(duì)于④，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，④正確．
綜上，正確的結(jié)論序號(hào)是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．