Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，且a＞1，h（x）=e^3x-3ae^x，x∈[0，ln2]，求h（x）的極小值；
（3）設(shè)F（x）=2f（x）-3x²-k（k∈R），若函數(shù)F（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且滿足2x₀=m+n，問：函數(shù)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)即為g′（x）≥0，x＞0恒成立，運用分離參數(shù)，運用基本不等式求得函數(shù)的最小值即可；
（2）令e^x=t，則t∈[1，2]，則h（x）=H（t）=t³-3at，求出H′（t），由H′（t）=0，得t=

a

，討論①若1＜t≤

a

，②若

a

＜t≤2，函數(shù)的單調(diào)性，即可得到極小值；
（3）即證是否存在x0=

m+n

2

，使F'（x₀）=0，因為x＞0時y=F'（x）單調(diào)遞減，且F'（1）=0，所以即證是否存在x0=

m+n

2

使x₀=1．即證是否存在m，n使m=2-n．求F（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)G（x）=F（x）-F（2-x），其中0＜x＜1，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，運用單調(diào)性即可得證．

解答： 解：（1）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，g′（x）=

1

x

+2x-a
由題意，知g′（x）≥0，x＞0恒成立，即a≤（2x+

1

x

）_min．
又x＞0，2x+

1

x

≥2

2

，當且僅當x=

2

2

時等號成立．
故（2x+

1

x

）_min=2

2

，所以a≤2

2

．
（2）由（Ⅰ）知，1＜a≤2

2

，令e^x=t，則t∈[1，2]，則h（x）=H（t）=t³-3at
H′（t）=3t²-3a=3（t-

a

）（t+

a

），由H′（t）=0，得t=

a

，
由于1＜a≤2

2

，則

a

∈[1，2

3

4

]，
①若1＜t≤

a

，則H′（t）＜0，H（t）單調(diào)遞減；h（x）在（0，ln

a

]也單調(diào)遞減；
②若

a

＜t≤2，則H′（t）＞0，H（t）單調(diào)遞增．h（x）在[ln

a

，ln2]也單調(diào)遞增；
故h（x）的極小值為h（ln

a

）=-2a

a

．
（3）即證是否存在x0=

m+n

2

，使F'（x₀）=0，
因為x＞0時y=F'（x）單調(diào)遞減，且F'（1）=0，
所以即證是否存在x0=

m+n

2

使x₀=1．即證是否存在m，n使m=2-n．
證明：F（x）=2lnx-x²-k.F′(x)=

2

x

-2x=2×

-(x-1)(x+1)

x

x、F'（x）、F（x）的變化如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗		↘

即y=F（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減．
又F（m）=F（n）=0且0＜m＜n所以0＜m＜1＜n．                                    
構(gòu)造函數(shù)G（x）=F（x）-F（2-x），其中0＜x＜1，
即G（x）=（2lnx-x²）-[2ln（2-x）-（2-x）²]=2lnx-2ln（2-x）-4x+4，
G′(x)=

2

x

+

2

2-x

-4=4×

(x-1)2

x(2-x)

≥0，當且僅當x=1時G'（x）=0，
故y=G（x）在（0，1）單調(diào)增，所以G（x）＜G（1）=0．       
所以0＜x＜1時，F(xiàn)（x）＜F（2-x）．又0＜m＜1＜n，
所以F（m）＜F（2-m），所以F（n）=F（m）＜F（2-m）．                       
因為n、2-m∈（1，+∞），所以根據(jù)y=F（x）的單調(diào)性知n＞2-m，即

m+n

2

＞1．
又F′(x)=

2

x

-2x在（0，+∞）單調(diào)遞減，所以F′(x0)=F′(

m+n

2

)＜F′(1)=0．
即函數(shù)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線不能平行于x軸．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和極值、最值，考查分類討論的思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，運用單調(diào)性解題，考查運算能力，屬于中檔題．