Question

已知數(shù)列{a_n}前項(xiàng)和S_n且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）
（1）試求a₂，a₃，a₄
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意，計(jì)算可得a₂，a₃，a₄
（2）猜想an=

2

n(n+1)

，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．

解答： 解：（1）由題意，計(jì)算可得a2=

1

3

，a3=

1

6

，a4=

1

10

（2）猜想an=

2

n(n+1)

證明如下：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

2

1×2

=1，命題成立
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)命題成立，即ak=

2

k(k+1)

當(dāng)n=k+1時(shí)Sk+1=(k+1)2ak+1=SK+ak+1=k2ak+ak+1
整理得a k+1=

2

(k+1)(k+2)

所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立
綜上，n∈N*時(shí)有an=

2

n(n+1)

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．