Question

某商場為經(jīng)營一批每件進(jìn)價(jià)是10元的小商品，對該商品進(jìn)行為期5天的市場試銷．下表是市場試銷中獲得的數(shù)據(jù)．

銷售單價(jià)/元	65	50	45	35	15
日銷售量/件	15	60	75	105	165

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答下列問題：
（1）試銷期間，這個(gè)商場試銷該商品的平均日銷售利潤是多少？
（2）試建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能較好地反映日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式；
（3）如果在今后的銷售中，該商品的日銷售量與銷售單價(jià)仍然滿足（2）中的函數(shù)關(guān)系，試確定該商品的銷售單價(jià)，使得商場銷售該商品能獲得最大日銷售利潤，并求出這個(gè)最大的日銷售利潤．
（提示：必要時(shí)可利用右邊給出的坐標(biāo)紙進(jìn)行數(shù)據(jù)分析）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）商場試銷該商品的平均日銷售利潤是1860．
（2）函數(shù)模型為y=-3x+210（10≤x≤70）．
（3）當(dāng)該商品的單價(jià)為每件40元時(shí)，商場銷售該商品的日銷售利潤最大，為2700元．

解答： 解：（1）設(shè)平均日銷售利潤為M，則M=

(15-10)×165+(35-10)×105+(45-10)×75+(50-10)×60+(65-10)×15

5

=165+5×105+7×75+8×60+11×15=1860．
（2）依題意，根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可考慮以y=kx+b作為刻畫日銷售量與銷售單價(jià)之間關(guān)系的函數(shù)模型，取其中的兩組數(shù)據(jù)（45，75），（65，15）代入y=kx+b得：

75=45k+b 15=65k+b

，
解得，k=-3，b=210
這樣，得到一個(gè)函數(shù)模型為y=-3x+210（10≤x≤70）．
將其他已知數(shù)據(jù)代入上述解析式知，它們也滿足這個(gè)解析式，即這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明所求的函數(shù)解析式能較好地反映銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系．
（3）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，由（2）知
P=xy-10y=x（-3x+210）-10（-3x+210）=-3（x-40）²+2700（10≤x≤70）
∴x=40時(shí)，P有最大值為2700．
即當(dāng)該商品的單價(jià)為每件40元時(shí)，商場銷售該商品的日銷售利潤最大，為2700元．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．