Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（a-1）x²-x+$\frac{11}{27}$．
（Ⅰ）當a=3時，求證：函數(shù)f（x）的圖象關于點（$\frac{1}{3}$，0）對稱；
（Ⅱ）當a＜0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{1}{3}$個單位，得到函數(shù)g（x）=f（x+$\frac{1}{3}$）=x³-$\frac{4}{3}$x的圖象，根據(jù)g（x）的奇偶性判證出結論即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 （Ⅰ）證明：當a=3時，f（x）=x³-x²-x+$\frac{11}{27}$，
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{1}{3}$個單位，
得到函數(shù)g（x）=f（x+$\frac{1}{3}$）=x³-$\frac{4}{3}$x的圖象，
∵任意x∈R，-x∈R且g（-x）=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，
∴函數(shù)f（x）的圖象關于（$\frac{1}{3}$，0）對稱；
（Ⅱ）解：由f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（a-1）x²-x+$\frac{11}{27}$，
得：f′（x）=ax²-（a-1）x-1=（x-1）（ax+1），
①a=-1時，f′（x）=-（x-1）²≤0，
∴f（x）在R遞減；
②當a＜-1時，令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{a}$）遞減，在（-$\frac{1}{a}$，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
③當-1＜a＜0時，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，-$\frac{1}{a}$）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞減．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．