Question

10．某小區(qū)現(xiàn)有一塊草坪ABCD呈平行四邊形形狀，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，為了改善居民的生活環(huán)境，決定將原草坪擴(kuò)建成三角形PAQ形狀，點(diǎn)A，D，P共線(xiàn)，Q，C，P共線(xiàn)，A，B，Q共線(xiàn)，設(shè)AP=x，BQ=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求△APQ面積最小值．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形，找出x，y的關(guān)系．
（2）利用任意三角形的面積公式，構(gòu)造基本不等式求解即可．

解答 解：（1）由題意：ABCD是平行四邊形形狀，則有AB=DC=3，AD=BC=2，∠BAD=60°；
∵A，D，P共線(xiàn)，Q，C，P共線(xiàn)，A，B，Q共線(xiàn)
故而：△BQC∽APQ，則有；$\frac{BQ}{AQ}=\frac{BC}{AP}$
由AP=x，BQ=y．那么：AQ=3+y，
故得：y=$\frac{6}{x-2}，（x∈（2，+∞））$
（2）由題意，∠BAD=60°，AP=x，AQ=3+y=3+$\frac{6}{x-2}$
那么：${S}_{△AQP}=\frac{1}{2}AP•AQsin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x（3+$\frac{6}{x-2}$）≥$6\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，取等號(hào)．
△APQ面積最小值$6\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的解析式的求法，根據(jù)已知條件建立關(guān)系，同時(shí)考查了任意三角形的面積公式，基本不等式的運(yùn)用．屬于中檔題．