7.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,E為AC與BD的交點(diǎn),PA⊥平面ABCD,M為PA中點(diǎn),N為BC中點(diǎn).
(1)證明:直線MN∥平面PCD;
(2)若點(diǎn)Q為PC中點(diǎn),∠BAD=120°,PA=$\sqrt{3}$,AB=1,求三棱錐A-QCD的體積.

分析 (1)取PD中點(diǎn)R,連結(jié)MR,CR,通過(guò)證明四邊形MNCR是平行四邊形得出MN∥CR,于是MN∥平面PCD;
(2)棱錐Q-ACD的底面△ACD為等邊三角形,高為PA的$\frac{1}{2}$,代入體積公式計(jì)算即可.

解答 解:(1)取PD中點(diǎn)R,連結(jié)MR,CR,
∵M(jìn)是PA的中點(diǎn),R是PD的中點(diǎn),
∴MR=$\frac{1}{2}$AD,MR∥AD,
∵四邊形ABCD是菱形,N為BC的中點(diǎn),
∴NC=$\frac{1}{2}AD$,NC∥AD.
∴NC∥MR,NC=MR,
∴四邊形MNCR為平行四邊形,
∴MN∥CR,又CR?平面PCD,MN?平面PCD,
∴MN∥平面PCD.
(2)∵四邊形ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴AC=AD=CD=1,∴${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$.
∵Q是PC的中點(diǎn),∴Q到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴${V_{A-QCD}}={V_{Q-ACD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×\frac{1}{2}PA=\frac{1}{8}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定,棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

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16.已知f(x)=$\frac{{a{x^2}+bx+1}}{x+c}$(x≠0,a>0)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)有最小值2$\sqrt{2}$.
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