Question

植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵相距3米，開始時需將樹苗集中放在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從1至20依次編號，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為

 

．若集中放在兩個樹坑旁邊（每坑旁10棵樹苗），則最佳坑位編號又分別為

 

、

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)已知中某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距3米，我們設(shè)樹苗集中放置的樹坑編號為x，并列出此時各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小時，樹苗放置的最佳坑位的編號．

解答： 解：設(shè)樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為x，
則各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和為：
S=|1-x|×3+|2-x|×3+…+|20-x|×3
若S取最小值，則函數(shù)y=（1-x）²+（2-x）²+…+（20-x）²=20x²-420x+（1²+2²+…+20²）也取最小值，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)y=20x²-420x+（1²+2²+…+20²）的對稱軸為x=10.5
又∵為正整數(shù)，∴x=10或x=11．
設(shè)樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為x和x+10，
則S=[|1-x|×3+|2-x|×3+…+|20-x|×3]×2，
若S取最小值，則函數(shù)y=（1-x）²+（2-x）²+…+（10-x）²=10x²-110x+（1²+2²+…+10²）也取最小值，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)y=10x²-110x+（1²+2²+…+20²）的對稱軸為x=5.5
又∵為正整數(shù)，∴x=5或x=6，
∴佳坑位編號又分別為5或6，15或16．
故答案為：10和11；5或6，15或16．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)最值的應(yīng)用，其中根據(jù)絕對值的定義，我們將求一個絕對值函數(shù)最值問題，轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)的最值問題是解答本題的關(guān)鍵．