【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ (a>1)
(1)證明:函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上為增函數(shù);
(2)用反證法證明f(x)=0沒有負數(shù)根.
【答案】
(1)證明:由于函數(shù)f(x)=ax+ (a>1)=ax+1﹣ ,
而函數(shù) y=ax(a>1)和函數(shù)y=﹣ 在(﹣1,+∞)上都為增函數(shù),
故函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上為增函數(shù)
(2)證明:假設f(x)=0有負數(shù)根為x=x0,且x0<0,則有f(x0)=0,故有 +1= ①.
由于函數(shù)y=ax+1在R上是增函數(shù),且a0+1=2,∴ +1<2.
由于函數(shù)y= 在(﹣1,+∞)上是減函數(shù),當x0∈(﹣1,0)時, =3,∴ >3,
∴①根本不可能成立,故①矛盾.
由于由于函數(shù)y= 在(﹣∞,﹣1)上是減函數(shù),當x0∈(﹣∞,﹣1)時, <0,
而, +1>1,∴①根本不可能成立,故①矛盾.
綜上可得,①根本不可能成立,故假設不成立,故f(x)=0沒有負數(shù)根.
【解析】(1)由于函數(shù)f(x)=ax+1﹣ ,而函數(shù) y=ax(a>1)和函數(shù)y=﹣ 在(﹣1,+∞)上都為增函數(shù),可得函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上為增函數(shù).(2)假設f(x)=0有負數(shù)根為x=x0<0,則有 +1= ①.分當x0∈(﹣1,0)時、當x0∈(﹣∞,﹣1)兩種情況,分別根據(jù) 和 +1 的范圍,可得①根本不可能成立,綜上可得假設不成立,命題得證.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和反證法與放縮法的相關(guān)知識點,需要掌握單調(diào)性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;常見不等式的放縮方法:①舍去或加上一些項②將分子或分母放大(縮小)才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面內(nèi)有向量 =(1,7), =(5,1), =(2,1),點X為直線OP上的一個動點.
(1)當 取最小值時,求 的坐標;
(2)當點X滿足(1)的條件和結(jié)論時,求cos∠AXB的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著人口老齡化的到來,我國的勞動力人口在不斷減少,“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題,為了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度,某校課外研究性學習小組在某社區(qū)隨機抽取了50人進行調(diào)查,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
年齡 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人數(shù) | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人數(shù) | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經(jīng)調(diào)查年齡在[25,30),[55,60)的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人.現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人,進行跟蹤調(diào)查.
(I)求年齡在[25,30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率;
(II)若選中的4人中,不贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知圓和直線,直線, 都經(jīng)過圓外定點.
(1)若直線與圓相切,求直線的方程;
(2)若直線與圓相交于兩點,與交于點,且線段的中點為,
求證: 為定值.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC=BB1, ,D為AC上的點,B1C∥平面A1BD;
(1)求證:BD⊥平面;
(2)若且,求三棱錐A-BCB1的體積.
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【題目】(本小題共14分)
如圖,在四棱錐中, 平面,底面是菱形, .
(Ⅰ)求證: 平面
(Ⅱ)若求與所成角的余弦值;
(Ⅲ)當平面與平面垂直時,求的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)求函數(shù)f(x)在[﹣ , ]上的單調(diào)減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()過點,且離心率為,過點的直線與橢圓交于, 兩點.
(Ⅰ)求橢圓的的標準方程;
(Ⅱ)已知為坐標原點,且,求面積的最大值以及此時直線的方程.
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