【題目】(本小題共14分)
如圖,在四棱錐中, 平面,底面是菱形, .
(Ⅰ)求證: 平面
(Ⅱ)若求與所成角的余弦值;
(Ⅲ)當(dāng)平面與平面垂直時,求的長.
【答案】:證明:(Ⅰ)因為四邊形ABCD是菱形,所以又因為平面。所以,
所以平面。
(Ⅱ)設(shè),因為
所以,如圖,以O為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,則所設(shè)與所成角為,則
(Ⅲ)由(Ⅱ)知設(shè)。則設(shè)平面的法
向量則,所以令則,
所以同理,平面的法向量,因為平面,所以,即解得,所以
【解析】試題分析:(Ⅰ)因為四邊形ABCD是菱形,可得AC⊥BD,又因為PA⊥平面ABCD,可得PA⊥BD. 根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到結(jié)果;(Ⅱ)設(shè)AC∩BD=O,因為∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以BO=1,AO=CO=,故以O為坐標(biāo)原點,OB為X軸,OC為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,可得設(shè)PB與AC所成角為,利用夾角公式即可求出結(jié)果.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,設(shè)P(0,-,t)(t>0),則,求出平面PBC的法向量為,平面PDC的法向量,因為平面PCB⊥平面PDC,所以=0,建立方程,即可求出PA的值.
試題解析:證明:(Ⅰ)因為四邊形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.
又因為PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥BD. 又因為
所以BD⊥平面PAC.
解:(Ⅱ)設(shè)AC∩BD=O.
因為∠BAD=60°,PA="AB=2,"
所以BO=1,AO=CO=.
以O為坐標(biāo)原點,OB為X軸,OC為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,則P(0, ,2),A(0, ,0),B(1,0,0),C(0, ,0).
所以
設(shè)PB與AC所成角為,則
.
解:(Ⅲ)由(Ⅱ)知
設(shè)P(0,-,t)(t>0),則
設(shè)平面PBC的法向量,
則
所以取則所以
同理,平面PDC的法向量
因為平面PCB⊥平面PDC,所以=0,即
解得,所以PA=
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【題目】已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an , an+1是函數(shù)f(x)=x2﹣bnx+2n的兩個零點,則b10等于( )
A.24
B.32
C.48
D.64
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【題目】設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x3﹣x2﹣x+a,若函數(shù)f(x)過點A(1,0),求函數(shù)在區(qū)間[﹣1,3]上的最值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ (a>1)
(1)證明:函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上為增函數(shù);
(2)用反證法證明f(x)=0沒有負數(shù)根.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點為原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若直線和曲線相交于兩點,且,求直線的斜率.
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【題目】已知橢圓的離心率為,左、右焦點分別為圓, 是上一點, ,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)過點的動直線與橢圓相交于不同兩點時,線段上取點,且滿足,證明點總在某定直線上,并求出該定直線.
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【題目】函數(shù)f(x)=3sin(2x﹣ )的圖象為C,下列結(jié)論中正確的是( )
A.圖象C關(guān)于直線x= 對稱
B.圖象C關(guān)于點(﹣ ,0)對稱
C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣ , )內(nèi)是增函數(shù)
D.由y=3sin2x的圖象向右平移 個單位長度可以得到圖象C
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【題目】如圖,在多面體中,底面是邊長為的正方形,四邊形是矩形,平面平面, , 和分別是和的中點.
(Ⅰ)求證: 平面.
(Ⅱ)求證:平面平面.
(Ⅲ)求多面體的體積.
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