Question

已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（2）若，求a的取值范圍.

 

Answer 1

（1）0；（2）(－∞，0).

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，對(duì)求導(dǎo)，利用“單調(diào)遞增，單調(diào)遞減”判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)最值的位置，并求出函數(shù)的最小值；第二問，先將已知不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將所求的參數(shù)分離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用“單調(diào)遞增，單調(diào)遞減”判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)最值的位置，并求出函數(shù)的最值，代入到所轉(zhuǎn)化的式子中即可.

試題解析：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－lnx－x，．

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f?(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f?(x)＞0．

所以f(x)的最小值為f(1)＝0． 5分

（2）f(x)＞x，即f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x＞0．

由于x＞0，所以f(x)＞x等價(jià)于． 7分

令，則．

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g?(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g?(x)＞0．

g(x)有最小值g(1)＝1．

故a＋1＜1，a的取值范圍是(－∞，0)． 12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題.