Question

15．已知一非零向量列{$\overrightarrow{{a}_{n}}$}滿足：$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（1，$\sqrt{3}$），且$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（x_n，y_n）=$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．
（1）求證：{|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|}是等比數(shù)列；
（2）求證：$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$，$\overrightarrow{{a}_{n}}$（n≥2）的夾角θ_n為定值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（x_n，y_n）=$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．可得x_n=$\frac{1}{2}$$（{x}_{n-1}-{y}_{{n}_{-1}}）$，y_n=$\frac{1}{2}$（x_n-1+y_n-1），即可證明$|\overrightarrow{{a}_{n}}|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$|\overrightarrow{{a}_{n-1}}|$．
（2）由（1）可得：x_n=$\frac{1}{2}$$（{x}_{n-1}-{y}_{{n}_{-1}}）$，y_n=$\frac{1}{2}$（x_n-1+y_n-1），代入$\overrightarrow{{a}_{n}}•\overrightarrow{{a}_{n-1}}$=x_nx_n-1+y_ny_n-1=$\frac{1}{2}（{x}_{n-1}^{2}+{y}_{n-1}^{2}）$=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{{a}_{n-1}}{|}^{2}$，即可得出cosθ_n=$\frac{\overrightarrow{{a}_{n}}•\overrightarrow{{a}_{n-1}}}{|\overrightarrow{{a}_{n}}||\overrightarrow{{a}_{n-1}}|}$．

解答 證明：（1）∵$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（x_n，y_n）=$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．
∴x_n=$\frac{1}{2}$$（{x}_{n-1}-{y}_{{n}_{-1}}）$，y_n=$\frac{1}{2}$（x_n-1+y_n-1），
∴${x}_{n}^{2}+{y}_{n}^{2}$=$\frac{1}{2}（{x}_{n-1}^{2}+{y}_{n-1}^{2}）$，
∴$|\overrightarrow{{a}_{n}}|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$|\overrightarrow{{a}_{n-1}}|$，
∴{|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|}是等比數(shù)列，公比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，首項為2．
（2）由（1）可得：x_n=$\frac{1}{2}$$（{x}_{n-1}-{y}_{{n}_{-1}}）$，y_n=$\frac{1}{2}$（x_n-1+y_n-1），
∴$\overrightarrow{{a}_{n}}•\overrightarrow{{a}_{n-1}}$=x_nx_n-1+y_ny_n-1=$\frac{1}{2}$$（{x}_{n-1}-{y}_{{n}_{-1}}）$x_n-1+$\frac{1}{2}$（x_n-1+y_n-1）y_n-1=$\frac{1}{2}（{x}_{n-1}^{2}+{y}_{n-1}^{2}）$=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{{a}_{n-1}}{|}^{2}$，
∴cosθ_n=$\frac{\overrightarrow{{a}_{n}}•\overrightarrow{{a}_{n-1}}}{|\overrightarrow{{a}_{n}}||\overrightarrow{{a}_{n-1}}|}$=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{{a}_{n-1}}{|}^{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{{a}_{n-1}}||\overrightarrow{{a}_{n-1}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ_n=$\frac{π}{4}$為定值．

點評 本題考查了向量的模的計算公式、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．