Question

4．設(shè)奇函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}acosx-\sqrt{3}sinx+c，x≥0\\ cosx+bsinx-c，x＜0\end{array}$，則a+c的值為0，不等式f（x）＞f（-x）在x∈[-π，π]上的解集為$（-\frac{2π}{3}，0）∪（\frac{2π}{3}，π]$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)求出a，b，c的值，利用分類討論的思想進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即f（0）=acos0-$\sqrt{3}$sin0+c=a+c=0，
即a+c=0，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{acosx-\sqrt{3}sinx-a，}&{x≥0}\\{cosx+bsinx+a，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
若x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=acosx+$\sqrt{3}$sinx-a=-cosx-bsinx-a，
則a=-1，b=-$\sqrt{3}$，c=1，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cosx-\sqrt{3}sinx+1，}&{x≥0}\\{cosx-\sqrt{3}sinx-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
若0≤x≤π，
則由f（x）＞f（-x）得-cosx-$\sqrt{3}$sinx+1＞cosx+$\sqrt{3}$sinx-1，
即cosx+$\sqrt{3}$sinx＜1，即cos（x-$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
∵0≤x≤π，∴-$\frac{π}{3}$≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
則$\frac{π}{3}$＜x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，即$\frac{2π}{3}$＜x≤π，
若-π≤x＜0，
則由f（x）＞f（-x）得cosx-$\sqrt{3}$sinx-1＞-cosx+$\sqrt{3}$sinx+1，
即cosx-$\sqrt{3}$sinx＞1，即cos（x+$\frac{π}{3}$）＞$\frac{1}{2}$，
∵-π≤x＜0，∴-$\frac{2π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，
則-$\frac{π}{3}$＜x+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，即-$\frac{2π}{3}$＜x＜0，
綜上不等式的解集為$（-\frac{2π}{3}，0）∪（\frac{2π}{3}，π]$，
故答案為：$（-\frac{2π}{3}，0）∪（\frac{2π}{3}，π]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a，b，c的值，利用分類討論的思想結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．