【題目】已知橢圓的離心率為,且,拋物線的通徑與橢圓的右通徑在同一直線上.
(1)求橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),為橢圓的左焦點(diǎn),求.
【答案】(1)橢圓,拋物線;(2).
【解析】
(1)根據(jù)題意求出、的值,進(jìn)而可求得的值,由此可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,根據(jù)拋物線的通徑與橢圓的右通徑在同一直線上求出的值,由此可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)、,可知直線的方程為,將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用三角形的面積公式結(jié)合韋達(dá)定理可求得的面積.
(1)由題意可得,可得,則,
所以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
由于拋物線的通徑與橢圓的右通徑在同一直線上,則,,
因此,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)設(shè)點(diǎn)、,可知直線的方程為,
將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,
消去得,,
由韋達(dá)定理得,,
因此,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)綠色出行,某市推出了新能源分時(shí)租賃汽車,并對(duì)該市市民使用新能源租賃汽車的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,得到有關(guān)數(shù)據(jù)如下表1:
表1
愿意使用新能源租賃汽車 | 不愿意使用新能源租賃汽車 | 總計(jì) | |
男性 | 100 | 300 | |
女性 | 400 | ||
總計(jì) | 400 |
其中一款新能源分時(shí)租賃汽車的每次租車費(fèi)用由行駛里程和用車時(shí)間兩部分構(gòu)成:行駛里程按1元/公里計(jì)費(fèi);用車時(shí)間不超過30分鐘時(shí),按0.15元/分鐘計(jì)費(fèi);超過30分鐘時(shí),超出部分按0.20元/分鐘計(jì)費(fèi).已知張先生從家到上班地點(diǎn)15公里,每天上班租用該款汽車一次,每次的用車時(shí)間均在20~60分鐘之間,由于堵車紅綠燈等因素,每次的用車時(shí)間(分鐘)是一個(gè)隨機(jī)變量.張先生記錄了100次的上班用車時(shí)間,并統(tǒng)計(jì)出在不同時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)如下表2:
表2
時(shí)間(分鐘) | (20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
頻數(shù) | 20 | 40 | 30 | 10 |
(1)請(qǐng)補(bǔ)填表1中的空缺數(shù)據(jù),并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該市市民對(duì)新能源租賃汽車的使用態(tài)度與性別有關(guān);
(2)根據(jù)表2中的數(shù)據(jù),將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率,以各時(shí)間段的區(qū)間中點(diǎn)值代表該時(shí)間段的取值,試估計(jì)張先生租用一次該款汽車上班的平均用車時(shí)間;
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)在拋物線上,直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且直線OA,OB的斜率之和為.
(1)求a和k的值;
(2)若,設(shè)直線與y軸交于D點(diǎn),延長(zhǎng)MD與拋物線C交于點(diǎn)N,拋物線C在點(diǎn)N處的切線為n,記直線n,與x軸圍成的三角形面積為S.求S的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,PA=AD=DC=2,AB=4且AB∥CD,∠BAD=90°.
(1)求證:BC⊥PC;
(2)求PB與平面PAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況,交通部門對(duì)100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查,得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車速情況為:在55名男性駕駛員中,平均車速超過100的有40人;在45名女性駕駛員中,平均車速不超過100的有25人.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100的人與性別有關(guān).
平均車速超過100人數(shù) | 平均車速不超過100人數(shù) | 合計(jì) | |
男性駕駛員人數(shù) | |||
女性駕駛員人數(shù) | |||
合計(jì) |
(2)以上述數(shù)據(jù)樣本來(lái)估計(jì)總體,現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取3輛,記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100的車輛數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式與數(shù)據(jù):,其中
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量成正比,那么為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),E是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),直線AE,BE分別交y軸于M,N兩點(diǎn),記,的面積分別為.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由;
(3)求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線相交于、兩點(diǎn),求的面積.
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