【題目】已知函數(shù)

若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求a的取值范圍;

若對任意恒成立,求實數(shù)m的最大值.

【答案】(1) ; (2).

【解析】

(1)g(x)的導數(shù)導數(shù)大于或等于0恒成立,轉化成求不等式恒成立問題

(2) 求不等式恒成立問題轉化成求最值問題,利用導數(shù)知識判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求最值。

(1)由題意得g′(x)=f′(x)+a=ln x+a+1.

∵函數(shù)g(x)在區(qū)間[e2,+∞)上為增函數(shù),∴當x∈[e2,+∞)時,g′(x)≥0,

即ln x+a+1≥0在[e2,+∞)上恒成立.∴a≥-1-ln x.

令h(x)=-ln x-1,∴a≥h(x)max,

當x∈[e2,+∞)時,ln x∈[2,+∞),

∴h(x)∈(-∞,-3],∴a≥-3,

即實數(shù)a的取值范圍是[-3,+∞).

(2)∵2f(x)≥-x2+mx-3,即mx≤2xln x+x2+3,

又x>0,∴m≤在x∈(0,+∞)上恒成立.

記t(x)==2ln x+x+.∴m≤t(x)min.

∵t′(x)=+1-

令t′(x)=0,得x=1或x=-3(舍去).

當x∈(0,1)時,t′(x)<0,函數(shù)t(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;

當x∈(1,+∞)時,t′(x)>0,函數(shù)t(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴t(x)min=t(1)=4.

∴m≤t(x)min=4,即m的最大值為4.

練習冊系列答案
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1

1

1

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