Question

10．已知點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0．-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）圖象上的任意兩點，且角φ的終邊經過點P（1，-$\sqrt{3}$），若|f（x₁）-f（x₂）|=4，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再將得到的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）后得到的y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的對稱中心坐標；
（3）當x∈[0，$\frac{π}{6}$]，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由任意角的三角函數的定義求得tanφ=-$\sqrt{3}$，故可以取φ=-$\frac{π}{3}$．再根據函數的圖象的相鄰的2條對稱軸間的距離等于$\frac{π}{3}$，故函數的周期為$\frac{2π}{3}$，由此求得ω 的值，從而求得函數的解析式，
（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和正弦函數的圖象和性質即可得解．
（3）由題意可得，當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，m≥1-$\frac{2}{f（x）+2}$恒成立，求得1-$\frac{2}{f（x）+2}$的最大值，可得m的范圍．

解答 解：（1）∵角φ的終邊經過點P（1，-$\sqrt{3}$），
∴角φ的終邊在第四象限，且tanφ=-$\sqrt{3}$，
∴可以取φ=-$\frac{π}{3}$．
∵點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0．-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）圖象上的任意兩點，若|f（x₁）-f（x₂）|=4，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
則函數的圖象的相鄰的2條對稱軸間的距離等于$\frac{π}{3}$，故函數的周期為$\frac{2π}{3}$，故 $\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，解得ω=3．
故函數的解析式為 f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）．
（2）將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到：y=2sin[3（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）．
再將得到的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）后得到的y=g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
由$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{1}{9}$π，即函數的對稱中心為（$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{1}{9}$π，0），（k∈Z），
（3）當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，即m[f（x）+2]≥f（x）．
由于當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，∴f（x）+2＞0．
故有 m≥$\frac{f（x）}{f（x）+2}$=$\frac{f（x）+2-2}{f（x）+2}$=1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 恒成立．
由于1-$\frac{2}{f（x）+2}$的最大值為 1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴m≥$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦函數的圖象和性質，任意角的三角函數的定義，由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查了正弦函數的定義域和值域，函數的恒成立問題，屬于中檔題．