Question

15．設(shè)集合S={x|-2≤x≤3}，P={x|2m≤x＜m+1}滿足S∩P=P≠∅
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）從S中任取一數(shù)x₀，記事件“x₀∈P“發(fā)生的概率為f（m），關(guān)于m的不等式（a+1）×32^f（m）+a-1＜0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得P是S的子集且P是非空集合，解不等式組可得；
（Ⅱ）易得f（m）=$\frac{1-m}{5}$，代入并變形可得a＜-1+$\frac{2}{1+{2}^{1-m}}$，由m的范圍求式子的最大值可得．

解答 解：（Ⅰ）∵集合S={x|-2≤x≤3}，P={x|2m≤x＜m+1}滿足S∩P=P≠∅，
∴P是S的子集且P是非空集合，∴$\left\{\begin{array}{l}{2m≤m+1}\\{2m≥-2}\\{m+1≤3}\end{array}\right.$，
解不等式組可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為-1≤m≤1；
（Ⅱ）∵從S中任取一數(shù)x₀，記事件“x₀∈P“發(fā)生的概率為f（m），
∴f（m）=$\frac{m+1-2m}{3-（-2）}$=$\frac{1-m}{5}$
∴關(guān)于m的不等式（a+1）×32^f（m）+a-1＜0可化為（a+1）×2^1-m+a-1＜0，
變形可得a＜$\frac{1-{2}^{1-m}}{1+{2}^{1-m}}$=$\frac{-（1+{2}^{1-m}）+2}{1+{2}^{1-m}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{1-m}}$，
∵-1≤m≤1，∴1≤2^1-m≤4，∴2≤1+2^1-m≤5，
∴$\frac{2}{5}$≤$\frac{2}{1+{2}^{1-m}}$≤1，∴-$\frac{3}{5}$≤-1+$\frac{2}{1+{2}^{1-m}}$≤0，
∴a＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型，涉及集合的運(yùn)算和不等式求范圍，屬中檔題．