Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分另為a、b、c，且f（A）=2，b=2，$c=\sqrt{2}$，求△ABC的面積S的值．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式與和角公式化簡(jiǎn)f（x），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的值域；
（2）根據(jù)f（A）=2和A的范圍計(jì)算A，代入面積公式$\frac{1}{2}bcsinA$即可．

解答 解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
∴f（x）的值域?yàn)閇1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]．
（2）∵f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A+$\frac{π}{4}$）+1=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵$\frac{π}{4}$＜2A+$\frac{π}{4}$＜$\frac{9π}{4}$，
∴2A+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，即A=$\frac{π}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式，屬于中檔題．