Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1，過點M（2，0）任作一條直線與C交于不同的兩點A、B．
（1）求△OAB的面積的最大值；
（2）若橢圓C的左頂點為N，直線l：x=$\frac{3}{2}$，直線NA和NB交直線l與PQ兩點，設A、B、P、Q的縱坐標分別為y₁、y₂、y₃、y₄．求證：$\frac{1}{y_1}$+$\frac{1}{y_2}$=$\frac{1}{y_3}$+$\frac{1}{y_4}$．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，利用韋達定理，結(jié)合三角形的面積公式，即可求△OAB的面積的最大值；
（2）由（1）知：$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=-4t$，再求出$\frac{1}{y_3}$+$\frac{1}{y_4}$，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：聯(lián)立方程組$\left.{\begin{array}{l}{x=ty+2}\\{{x^2}+3{y^2}=3}\end{array}}\right\}⇒（3+{t^2}）{y^2}+4ty+1=0⇒\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=-\frac{4t}{{3+{t^2}}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{1}{{3+{t^2}}}}\end{array}}\right.$
由△＞0⇒t²＞1
所以$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{\frac{{12（{t^2}-1）}}{{{{（{t^2}+3）}^2}}}}=\sqrt{\frac{12}{{{t^2}-1+\frac{16}{{{t^2}-1}}+8}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OM}||{{y_1}-{y_2}}|≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．----------------（6分）
（2）證明：由（1）知：$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=-4t$------------------（8分）
NA：$y=\frac{y_1}{{{x_1}+\sqrt{3}}}（x+\sqrt{3}）⇒{y_3}=（\frac{3}{2}+\sqrt{3}）\frac{y_1}{{{x_1}+\sqrt{3}}}$，同理：${y_4}=（\frac{3}{2}+\sqrt{3}）\frac{y_2}{{{x_2}+\sqrt{3}}}$$\frac{1}{y_3}+\frac{1}{y_4}=\frac{1}{{\frac{3}{2}+\sqrt{3}}}（\frac{{{x_1}+\sqrt{3}}}{y_1}+\frac{{{x_2}+\sqrt{3}}}{y_2}）=-4t$．
故$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=\frac{1}{y_3}+\frac{1}{y_4}$----------------（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查韋達定理的運用，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．