Question

2．過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，且傾斜角為30°的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-7）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=64．

Answer 1

分析 直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即x=$\sqrt{3}$y+1，代入y²=4x，得y²-4$\sqrt{3}$y-4=0，求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義，求出圓的半徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即x=$\sqrt{3}$y+1，
代入y²=4x，得y²-4$\sqrt{3}$y-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），則y₁+y₂=4$\sqrt{3}$，
∴y₀=2$\sqrt{3}$，x₀=7
設(shè)A，B到準(zhǔn)線的距離分別為d_A，d_B，圓的半徑為r，
由拋物線的定義可知|AF|=d_A，|BF|=d_B，于是|AB|=|AF|+|BF|，
∴M到準(zhǔn)線的距離d=r=7-（-1）=8，
∴以AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-7）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=64．
故答案為：（x-7）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=64．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查圓的方程，正確求出圓的圓心與半徑是關(guān)鍵．