Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x≤0時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-2ax（a∈R）．
（1）若f（x）在x=-1處有極值，求a的值；
（2）求當x≥0時，函數(shù)f（x）的解析式；
（3）如果函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用f（x）在x=-1處有極值，可得f′（-1）=1-2-2a=0，即可求a的值；
（2）設(shè)x≥0，則-x≤0，利用條件，即可求x≥0時，f（x）的解析式；
（3）若f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上為增函數(shù)，則f′（x）=x²-2x-2a≥0在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，分離參數(shù)求最小值，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-2ax，
∴f′（x）=x²+2x-2a，
∵f（x）在x=-1處有極值，
∴f′（-1）=1-2-2a=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)x≥0，則-x≤0，
∴f（-x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+2ax，
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-2ax；
（3）∵f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上為增函數(shù)，
∴f′（x）=x²-2x-2a≥0在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
∴2a≤x²-2x在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
∴2a≤-1，
∴a≤-$\frac{1}{2}$．

點評 了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數(shù)在極值點兩側(cè)異號）．會用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間與極值．