Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（2a-1）x．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）a=3時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+3x²+5x，
f′（x）=x²+6x+5=（x+1）（x+5），
令f′（x）＞0，解得：x＞-1或x＜-5，
令f′（x）＜0，解得：-5＜x＜-1，
∴f（x）在（-∞，-5）遞增，在（-5，-1）遞減，在（-1，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（-5）=$\frac{25}{3}$，f（x）_極小值=f（-1）=-$\frac{7}{3}$；
（2）f′（x）=（x+2a-1）（x+1），
a＜1時(shí)，-2a+1＞-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞-2a+1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜-2a+1，
∴f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，-2a+1）遞減，在（-2a+1，+∞）遞增，
a=1時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R遞增，
a＞1時(shí)，-2a+1＜-1，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2a+1或x＞-1，
令f′（x）＜0，解得：-2a+1＜x＜-2a+1，
∴f（x）在（-∞，-2a+1）遞增，在（-2a+1，-1）遞減，在（-1，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．