Question

17．已知圓錐的高為h，底半徑為r，用我們計算拋物線下曲邊梯形面積的思路，推導圓錐體積的計算公式．
[提示：（1）用若干張平行于圓錐底面的平面把它切成n塊厚度相等的薄片；
（2）用一系列圓柱的體積近似地代替對應的薄片，圓柱的高為$\frac{h}{n}$，底半徑順次為：$\frac{r}{n}$，$\frac{2r}{n}$，$\frac{3r}{n}$…，$\frac{（n-1）r}{n}$，r；
（3）問題歸結(jié)為計算和式V（n）=$\frac{h}{n}$×（1²+2²+…+n²）×$\frac{π{r}^{2}}{{n}^{2}}$，當n越來越大時所趨向的值．]．

Answer 1

分析 利用極限的定義進行分割、近似代換和求極限的方法，進行推到

解答 解：（1）若干張平行于圓錐底面的平面把它切成n塊厚度相等的薄片；
（2）用一系列圓柱的體積近似地代替對應的薄片，圓柱的高為$\frac{h}{n}$，底半徑順次為：$\frac{r}{n}$，$\frac{2r}{n}$，$\frac{3r}{n}$…，$\frac{（n-1）r}{n}$，r；
（3）問題歸結(jié)為計算和式V（n）=$\frac{h}{n}$×（1²+2²+…+n²）×$\frac{π{r}^{2}}{{n}^{2}}$，當n越來越大時所趨向的值．
（對V求極限V=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{h}{n}$×（1²+2²+…+n²）×$\frac{π{r}^{2}}{{n}^{2}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{h}{n}•\frac{1}{6}n（n+1）（2n+1）•\frac{π{r}^{2}}{{n}^{2}}$
=$\frac{hπ{r}^{2}}{6}$$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{n}^{2}+3n+1}{{n}^{2}}$
=$\frac{π{r}^{2}h}{3}$
=$\frac{1}{3}{S}_{底}h$
故圓錐的體積等于$\frac{1}{3}$的圓柱體的體積

點評 利用極限的思想對圓錐進行分割、近似代換和求極限，屬于中檔題．