Question

5．設(shè)函數(shù)$f（x）=|{\frac{1}{2}x+1}|+|{x-1}|（x∈R）$的最小值為a．
（1）求a；
（2）已知兩個(gè)正數(shù)m，n滿足m²+n²=a，求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函數(shù)的形式，通過討論x的范圍，求出a的值即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出其最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=|{\frac{1}{2}x+1}|+|{x-1}|=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}x，x≤-2\\-\frac{1}{2}x+2，-2＜x＜1\\ \frac{3}{2}x，x≥1\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）的最小值a=$\frac{3}{2}$．
（2）由（Ⅰ）知m²+n²=$\frac{3}{2}$，由m²+n²≥2mn，得mn≤$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{mn}$≥$\frac{4}{3}$，
故有 $\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{mn}}$≥$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時(shí)取等號(hào)，
所以$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．