Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PA=PC=2，PB=PD，∠BAC=60°，若O是AC與BD的交點(diǎn)．      
（1）求證：PO⊥面ABCD；
（2）若BC=2，OM⊥CD于M，求PM與面ABCD所成角的正切．

Answer 1

分析：（1）由四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PA=PC=2，PB=PD，O是AC與BD的交點(diǎn)，知PO⊥AC，PO⊥BD，由此能夠證明PO⊥面ABCD．
（2）由四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PA=PC=2，∠BAC=60°，BC=2，知△ABC是等邊三角形，由題設(shè)條件能推導(dǎo)出∠PMO是PM與平面ABCD所成的角，由此能求出PM與面ABCD所成角的正切值．

解答：解：（1）∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PA=PC=2，PB=PD，O是AC與BD的交點(diǎn)，
∴BO=DO，AO=CO，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
又∵AC∩BD=0，∴PO⊥面ABCD．
（2）∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PA=PC=2，∠BAC=60°，BC=2，
∴△ABC是等邊三角形，AC⊥BD，∴AC=2，BO=DO=

3

，
∴PO=

22-12

=

3

，
∵OM⊥CD于M，∴OM=

DO•CO

DC

=

3 ×1

2

=

3

2

，
∵PO⊥面ABCD，∴∠PMO是PM與平面ABCD所成的角，
由上tan∠PMO=

PO

OM

=

3

3 2

=2．
故PM與面ABCD所成角的正切值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意培養(yǎng)空間思維能力．