Question

下列不等式一定成立的是（　　）

• A、lg（x²+

  1

  4

  ）＞lgx（x＞0）
• B、

  x2+5

  x2+4

  ≥2
• C、x²+1≥2|x|（x∈R）
• D、

  1

  x2+1

  ＞1（x∈R）

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：A．當x=

1

2

時，lg(x2+

1

4

)=lgx；
B.

x2+4+1

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，令

x2+4

=t≥2，則f（t）=t+

1

t

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
C．由（|x|-1）²≥0，可得x²+1≥2|x|．
D．由于x²≥0，可得

1

x2+1

≤1．

解答： 解：A．當x=

1

2

時，lg(x2+

1

4

)=lgx，因此不成立；
B.

x2+4+1

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，
令

x2+4

=t≥2，則f（t）=t+

1

t

，f′(t)=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0．
∴f（t）≥2+

1

2

=

5

2

，因此不正確．
C．∵（|x|-1）²≥0，∴x²+1≥2|x|，正確．
D．∵x²≥0，∴

1

x2+1

≤1，因此不正確．
故選：C．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，使用基本不等式時注意“一正二定三相等”的法則，屬于基礎(chǔ)題．