Question

（本題滿分13分）
在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，點(diǎn)E的棱AB上移動(dòng)。
（I）證明：D₁EA₁D；
（II）AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為。

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）二面角的大小為.

試題分析：（1）欲證DE⊥平面A₁E，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證AE⊥DE，A₁A⊥DE，即可；
解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則 （2分）
（Ⅰ） （4分）
（Ⅱ）設(shè)平面的法向量，
∴
由 令，
∴ （8分）
依題意
∴（不合，舍去）， .
∴時(shí)，二面角的大小為. （13分）
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用向量的知識(shí)來(lái)表示空間的點(diǎn)，然后借助向量在幾何中的運(yùn)用，求證垂直和二面角的平面角的問(wèn)題。