Question

【題目】已知橢圓 的離心率為，且過點是橢圓的左、右頂點，直線過點且與軸垂直．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于的任意一點，作軸于點，延長到點使得，連接并延長交直線于點，點為線段的中點，判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線與以為直徑的圓相切． 證明見解析

【解析】

（1）利用離心率和，，的平方關(guān)系，即可求出橢圓的標準方程；

（2）設(shè)，，則，，聯(lián)立直線的直線方程與，求出點的坐標，再求出點的坐標，從而求出直線的方程，再求出到直線的距離，因為，所以直線與以為直徑的圓相切．

解：（1）橢圓 的離心率為，且過點，

，解得，

橢圓的標準方程為： ；

（2）設(shè)，則，

直線的方程為，

聯(lián)立，解得，點，

點，

則直線的方程為，

即，

，直線的方程可化為，

到直線的距離為，

故直線與以為直徑的圓相切．