4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAB⊥平面ABCD,AB=AP=3,AD=PB=2,E為線段AB上一點(diǎn),且AE:EB=7:2,點(diǎn)F,G,M分別為線段PA、PD、BC的中點(diǎn).
(1)求證:PE⊥平面ABCD;
(2)若平面EFG與直線CD交于點(diǎn)N,求二面角P-MN-A的余弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出PE⊥AB,由此能證明PE⊥平面ABCD.…(4分)
(2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EP、EB、EN分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角P-MN-A的余弦值.

解答 證明:(1)在等腰△APB中,$cos∠ABP=\frac{{\frac{1}{2}PB}}{AB}=\frac{1}{3}$,
則由余弦定理可得$P{E^2}={(\frac{2}{3})^2}+{2^2}-2×\frac{2}{3}×2×\frac{1}{3}=\frac{32}{9}$,∴$PE=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$.…(2分)
∴PE2+BE2=4=PB2,∴PE⊥AB.…(3分)
∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,
∴PE⊥平面ABCD.…(4分)
解:(2)由已知可得EN∥AD,…(5分)
以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EP、EB、EN分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
則$P(\frac{{4\sqrt{2}}}{3},0,0),M(0,\frac{2}{3},1),N(0,0,2)$,
從而$\overrightarrow{PM}=(-\frac{{4\sqrt{2}}}{3},\frac{2}{3},1)$,$\overrightarrow{MN}=(0,-\frac{2}{3},1)$.…(7分)
設(shè)平面PMN的法向量為$\vec n=(x,y,z)$,則$\vec n•\overrightarrow{PM}=0$,$\vec n•\overrightarrow{MN}=0$,
即$-\frac{{4\sqrt{2}}}{3}x+\frac{2}{3}y+z=0$,$-\frac{2}{3}y+z=0$,
令y=3,可得平面PMN的一個法向量為$\vec n=(\frac{3}{{\sqrt{2}}},3,2)$.…(9分)
由(1)知平面AMN的一個法向量為$\overrightarrow{EP}=(\frac{{4\sqrt{2}}}{3},0,0)$,…(10分)
$cos\left?{\vec n,\overrightarrow{EP}}\right>=\frac{4}{{\frac{{4\sqrt{2}}}{3}×\frac{{\sqrt{35}}}{{\sqrt{2}}}}}=\frac{{3\sqrt{35}}}{35}$,…(11分)
由圖可知二面角P-MN-A的平面角為銳角,
故二面角P-MN-A的余弦值為$\frac{{3\sqrt{35}}}{35}$.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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