Question

已知函數(shù)= （，

（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)與的圖像有兩個不同的交點，求的取值范圍。

（3）設(shè)點和（是函數(shù)圖像上的兩點，平行于的切線以為切點，求證.

 

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，將圖像的交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù)，通過函數(shù)的極值的正負(fù)求參數(shù)的值；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法合理轉(zhuǎn)化.

規(guī)律總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及與函數(shù)有關(guān)的綜合題，都體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的重要性；此類問題往往從求導(dǎo)入手，思路清晰；但綜合性較強，需學(xué)生有較高的邏輯思維和運算能力.

試題解析：(1)記，則的定義域為.

當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

由得，即，

令，；

當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，且；

當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，且，

所以在處取到最大值；

故要使與有兩個不同的交點，只需.

(3）由已知：，所以

由，故

同理

綜上所述得.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的零點；3.放縮法.