Question

（本小題滿分14分）

已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線垂直于軸,動(dòng)點(diǎn)在上,且滿足

(為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)的軌跡為.

（1）求曲線的方程；

（2）若直線是曲線的一條切線, 當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí),求直線的方程. 

 

Answer 1

【答案】

（1）.  (2) 或.

【解析】本試題主要是考查了軌跡方程的求解，以及直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵,  ∴，得到關(guān)系式。

（2）直線與曲線相切,∴直線的斜率存在.

   設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式得到結(jié)論。

(1) 解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵,  ∴. 

當(dāng)時(shí),得,化簡(jiǎn)得.    …… 2分

當(dāng)時(shí), 、、三點(diǎn)共線，不符合題意，故.

∴曲線的方程為.          …… 4分

(2) 解法1:∵ 直線與曲線相切,∴直線的斜率存在.

   設(shè)直線的方程為,       …… 5分

  由 得.

  ∵ 直線與曲線相切,

  ∴,即.        …… 6分

點(diǎn)到直線的距離        …… 7分

                   …… 8分

                  …… 9分

.                                   …… 10分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí).   ……12分

∴直線的方程為或.                 …… 14分

 解法2：利用導(dǎo)數(shù)求切線。