已知函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1).
(I)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(1)=
32
,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,∞)上的最小值為-2,求實(shí)數(shù)m的值.
分析:(Ⅰ)分a>1和0<a<1兩種情況利用兩個(gè)增函數(shù)相加為增函數(shù)的特點(diǎn)可得結(jié)論;
(Ⅱ)利用換元法和分類討論的思想表示出函數(shù)的最值讓其等于-2可解m的值,注意取舍.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a>1時(shí),y=ax在R上單調(diào)遞增,y=a-x=(
1
a
)x
在R上單調(diào)遞減,
y=-ax在R上單調(diào)遞增,又因?yàn)閮蓚(gè)增函數(shù)相加所得的函數(shù)為增函數(shù),
所以f(x)=ax-a-x在R上單調(diào)遞增;
同理可得,當(dāng)0<a<1時(shí),原函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)∵f(1)=
3
2
a-
1
a
=
3
2
即2a2-3a-2=0,
∴a=2或a=-
1
2
(舍去)
∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x2-2m(2x-2-x)+2
令t=f(x)=2x-2-x
∵x≥1,∴t≥f(1)=
3
2
∴g(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2
g(t)是關(guān)于t的二次函數(shù)的一部分,開口向上,對(duì)稱軸為x=m結(jié)合圖象可知:
當(dāng)m
3
2
時(shí),g(t)min=g(m)=2-m2=-2,∴m=2或m=-2(舍去)
當(dāng)m
3
2
時(shí),g(t)min=g(
3
2
)=
17
4
-3m=-2
,∴m=
25
12
3
2
(舍去)
綜上可知m=2.
點(diǎn)評(píng):本題為函數(shù)的綜合應(yīng)用,用好分類討論思想和換元法是解決問題的關(guān)鍵,屬難題.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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2x
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