Question

已知函數(shù)f（x）=丨x-a丨-2a+1（a∈R），若對(duì)任意x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對(duì)a討論，當(dāng)a＞2時(shí)，當(dāng)1≤a≤2時(shí)，當(dāng)a＜1時(shí)，分別去絕對(duì)值，由單調(diào)性求得最小值，再解不等式即可得到所求范圍．

解答： 解：當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）=丨x-a丨-2a+1=a-x-2a+1=-x-a+1在[1，2]遞減，
則f（x）的最小值為f（2）=-1-a，
對(duì)任意x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，即有-1-2a≥0，解得a≤-

1

2

，則a∈∅；
當(dāng)1≤a≤2時(shí)，f（x）=丨x-a丨-2a+1在[1，2]的最小值為1-2a，由題意可得1-2a≥0，
解得a≤

1

2

，則a∈∅；
當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）=x-a-2a+1=x-3a+1在[1，2]遞增，則f（x）的最小值為f（1）=2-3a，
由題意可得2-3a≥0，解得a≤

2

3

，則a≤

2

3

成立．
綜上可得，a的取值范圍是（-∞，

2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．