Question

5．直線2x+3y-6=0交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，試在直線y=-x上求一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0）．

Answer 1

分析 由題意，A（3，0），B（0，2），求得點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求得AB′的方程，再由直線AB′的方程和直線y=-x的方程聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：由題意，A（3，0），B（0，2）
設(shè)點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)B′（m，n），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-2}{m}•（-1）=-1}\\{\frac{2+n}{2}=-\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=0}\end{array}\right.$，可得B′（-2，0），
∴AB′的直線方程為：y=0
∴聯(lián)立方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{y=-x}\end{array}\right.$，求得x=y=0
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）．
故答案為：（0，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查求一個點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，利用了垂直、和中點(diǎn)在對稱軸上這兩個條件，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．