Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{（{m^2}-1）{x^2}-（1-m）x+1}$的值域?yàn)閇0．+∞），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，f（x）的值域?yàn)閇0．+∞），外層函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，只需保證內(nèi)層函數(shù)（m²-1）x²-（1-m）x+1值域能取到[0．+∞）即可實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）=$\sqrt{（{m^2}-1）{x^2}-（1-m）x+1}$是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，設(shè)f（x）=${u}^{\frac{1}{2}}$（u≥0）值域?yàn)閇0．+∞），則u=（m²-1）x²-（1-m）x+1的值域能取到[0．+∞）即u_min≤0可滿足題意．
∴m²-1＞0．解得：m＞1或m＜-1．
∵u=（m²-1）x²-（1-m）x+1，開口向上，對(duì)稱軸x=$-\frac{1}{2（m+1）}$，
那么：${u}_{min}=（{m}^{2}-1）（\frac{1}{2（m+1）}）^{2}+（1-m）（\frac{1}{2（m+1）}）+1$≤0
整理得：3m²+8m+5≤0
解得：-$\frac{5}{3}$≤m≤-1
當(dāng)m=-1時(shí)，u=（m²-1）x²-（1-m）x+1=-2x+1，值域能取到[0．+∞），故m=-1成立．
所以：-$\frac{5}{3}$≤m≤-1．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-$\frac{5}{3}$，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題，通過(guò)值域來(lái)求參數(shù)．計(jì)算量大，化簡(jiǎn)繁瑣，屬于中檔題．