Question

15．下列命題：
①若函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+a}$）為奇函數(shù)，則a=1；
②函數(shù)f（x）=|sinx|的周期T=π；
③方程lgx=sinx有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根；
④對于函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$，若0＜x₁＜x₂，則f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
以上命題為真命題的是①②③．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的定義，可判斷①；求出函數(shù)的周期，可判斷②；判斷方程根的個(gè)數(shù)，可判斷③，根據(jù)函數(shù)的凸凹性，可判斷④

解答 解：①若函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+a}$）為奇函數(shù)，
則f（0）=lg$\sqrt{a}$=0，解得：a=1；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）滿足f（-x）=-f（x），故正確；
②函數(shù)f（x）=|sinx|的周期T=π，故正確；
③方程lgx=sinx有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故正確；
④對于函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$，若0＜x₁＜x₂，則f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．故錯(cuò)誤；
故答案為：①②③

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．