Question

19．（1）把函數(shù)y=sin2x的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)y=f（x）圖象，對(duì)于函數(shù)y=f（x）有以下四個(gè)判斷：
①該函數(shù)的解析式為y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；②該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，0）對(duì)稱；
③該函數(shù)在[0，$\frac{π}{6}$]上是增函數(shù)；④函數(shù)y=f（x）+a在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為$\sqrt{3}$，則a=2$\sqrt{3}$．
（2）以下命題：⑤若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；⑥$\overrightarrow{a}$=（-1，1）在$\overrightarrow$=（3，4）方向上的投影為$\frac{1}{5}$；⑦若非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，則|2$\overrightarrow$|＞|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|．
在（1）和（2）中，正確判斷的序號(hào)是②④⑤⑥⑦．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系先求出函數(shù)f（x）的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷．
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積的定義和應(yīng)用，進(jìn)行判斷即可、

解答 解：將函數(shù)向左平移$\frac{π}{6}$得到y(tǒng)=sin2（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），然后縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到y(tǒng)=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），即y=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），所以①不正確．
y=f（$\frac{π}{3}$）=2sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2sinπ=0，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，0）對(duì)稱，所以②正確．
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，增區(qū)間為[-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，所以③不正確．
y=f（x）+a=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a，當(dāng)0≤x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，所以當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{4π}{3}$時(shí)，函數(shù)值最小為y=2sin$\frac{4π}{3}$+a=-$\sqrt{3}$+a=$\sqrt{3}$，所以a=2$\sqrt{3}$，所以④正確．所以正確的命題為②④．
（2）由|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$||cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，
所以cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=±1，即＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=0或＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=π，所以$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，所以⑤正確．
$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影為|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$b＞=$\frac{a•b}{|b|}$=$\frac{-3+4}{5}$=$\frac{1}{5}$，所以⑥正確．
所由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|得，$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，即2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\overrightarrow{a}$²，若|2$\overrightarrow$|＞|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|，
則有4$\overrightarrow$²＞$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4$\overrightarrow$²，即$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{a}$²=-$\overrightarrow{a}$²＜0，顯然成立，所以⑦正確．
故答案為：②④⑤⑥⑦

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．