【題目】如圖,在矩形ABCD和矩形ABEF中,,,矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求證:當(dāng)點(diǎn)F,A,D不共線時(shí),線段MN總平行于平面ADF.
(2)“不管怎樣翻折矩形ABEF,線段MN總與線段FD平行”這個(gè)結(jié)論正確嗎?如果正確,請(qǐng)證明;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明能否改變個(gè)別已知條件使上述結(jié)論成立,并給出理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)這個(gè)結(jié)論不正確.要使上述結(jié)論成立,M,N應(yīng)分別為AE和DB的中點(diǎn),理由見(jiàn)解析
【解析】
(1)在平面圖形中,連接MN與AB交于點(diǎn)G,在平面圖形中可證,當(dāng)點(diǎn)F,A,D不共線時(shí),,,可證平面ADF,平面ADF,從而有平面平面ADF,即可證明結(jié)論;
(2)這個(gè)結(jié)論不正確.要使上述結(jié)論成立,M,N應(yīng)分別為AE和DB的中點(diǎn).
當(dāng)點(diǎn)F,A,D共線時(shí),由(1)得;當(dāng)點(diǎn)F,A,D不共線時(shí),平面平面FDA,則要使,滿足FD與AN共面,只要FM與DN相交即可,可證交點(diǎn)只能為點(diǎn)B,得出只有M,N分別為AE,DB的中點(diǎn)才滿足.
(1)證明:在平面圖形中,連接MN,與AB交于點(diǎn)G.
∵四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形,,
∴且,
∴四邊形ADBE是平行四邊形,∴.
又,∴四邊形ADNM是平行四邊形,∴.
當(dāng)點(diǎn)F,A,D不共線時(shí),如圖,,,
平面,平面,所以平面ADF,
同理平面ADF,又,
平面,∴平面平面ADF.
又平面GNM,∴平面ADF.
故當(dāng)點(diǎn)F,A,D不共線時(shí),線段MN總平行于平面FA D.
(2)解:這個(gè)結(jié)論不正確.
要使上述結(jié)論成立,M,N應(yīng)分別為AE和DB的中點(diǎn).理由如下:
當(dāng)點(diǎn)F,A,D共線時(shí),由(1)得.
當(dāng)點(diǎn)F,A,D不共線時(shí),如圖,
由(1)知平面平面FDA,則要使總成立,
根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,只要FD與共面即可.
若要使FD與共面,連接FM,只要FM與DN相交即可,
∵平面ABEF,平面ABCD,
平面平面,
∴若FM與DN相交,則交點(diǎn)只能為點(diǎn)B,
由于四邊形為平行四邊形,與的交點(diǎn)為的中點(diǎn),
則只有M,N分別為AE,DB的中點(diǎn)才滿足.
由,
可知它們確定一個(gè)平面,即F,D,N,M四點(diǎn)共面.
∵平面平面,
平面平面,
平面平面FDA,∴.
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(1)求證:平面平面;
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(2)在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件,設(shè)為重量超過(guò)克的產(chǎn)品數(shù)量,求的分布列.
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