Question

（2012•株洲模擬）一個數(shù)列中的數(shù)均為奇數(shù)時，稱之為“奇數(shù)數(shù)列”． 我們給定以下法則來構造一個奇數(shù)數(shù)列{a_n}，對于任意正整數(shù)n，當n為奇數(shù)時，a_n=n；當n為偶數(shù)時，a_n=a

n

2

．
（1）試寫出該數(shù)列的前6項；
（2）研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的每一個奇數(shù)都會重復出現(xiàn)，那么第10個5是該數(shù)列的第幾項？
（3）求該數(shù)列的前2ⁿ項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知an=

n，n為奇數(shù)時 a n 2 ，n為偶數(shù)時

(n∈N*)由此得該數(shù)列的前6項．
（2）借助于遞推公式知道奇數(shù)項的值為其項數(shù)，而偶數(shù)項的值由對應的值來決定．又通過前面的項發(fā)現(xiàn)項的值為5時，下角碼是首項為5，公比為2的等比數(shù)列．即可求出第10個5在該數(shù)列中所占的位置．
（3）由條件可得 T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a2n）=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-2-1）]+…+[1+3]+[2-1]+1，
根據(jù)1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）=4^n-1，可得 T_n =4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4¹+4⁰+1，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式求得結果．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知an=

n，n為奇數(shù)時 a n 2 ，n為偶數(shù)時

(n∈N*)
由此得：該數(shù)列的前6 項分別為1，1，3，1，5，3．
（2）這個數(shù)列各項的值分別為1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
仔細觀察發(fā)現(xiàn)a₅=5，a₁₀=5，a₂₀=5，a₄₀=5…
即項的值為5時，下角碼是首項為5，公比為2的等比數(shù)列．
所以第10個5是該數(shù)列的第5×2^10-1=2560項．
第10個5是該數(shù)列的第2560項．
（3）由題意可得 T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a2n）=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₁+a₂+a₃+…+a2n-1）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（a2n-1-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a2n-1） 
…
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-2-1）]+…+[1+3]+[2-1]+1．
由于1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）=

2n-1(1+2n-1]

2

=（2^n-1）²=4^n-1，
故 T_n =4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4¹+4⁰+1=

1×(1-4n)

1-4

+1=

4n+2

3

．

點評：本題主要考查了數(shù)列遞推公式應用，同時考查了等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列前n項和公式求，解題時要認真審題，仔細觀察規(guī)律，避免錯誤，屬于中檔題．