Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．點E在棱PA上，且PE=2EA． （Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角；
（Ⅱ）求證：PC∥平面EBD；
（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大�。�（用反三角函數表示）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸， 建立如圖所示的直角坐標系B﹣xyz．
設BC=a，則A（0，3，0），P（0，0，3），
D（3，3，0），C（0，a，0），
=（3，3﹣a，0）， ，
∵CD⊥PD，∴ ，
即3（3﹣a）+9=0．∴a=6．
∵ ， ，
∴ ．
∴異面直線CD與AP所成的角為60°．
（Ⅱ）證明：連結AC交BD于G，連結EG．
∴ ，∴ ．
∴PC∥EG…（6分）又EG平面EBD，PC平面EBD，
∴PC∥平面EBD
（Ⅲ）解：設平面BED的法向量為 =（x，y，z）， ，
由
又因為平面ABE的法向量 ，
．
所以，二面角A﹣BE﹣D的大小為 ．

【解析】（Ⅰ）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸，建立如圖所示的直角坐標系B﹣xyz，利用向量法能求出異面直線CD與AP所成的角．（Ⅱ）連結AC交BD于G，連結EG，由已知得PC∥EG，由此能證明PC∥平面EBD．（Ⅲ）求出平面BED的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的大小．
【考點精析】利用異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現兩條異面直線間的關系；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．