Question

15．已知整數(shù)n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有4個(gè)元素的子集記為A₁，A₂，A₃，…，${A_{C_n^4}}$．
設(shè)A₁，A₂，A₃，…，${A_{C_n^4}}$中所有元素之和為S_n．
（1）求S₄，S₅，S₆并求出S_n；
（2）證明：S₄+S₅+…+S_n=10C_n+2⁶．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義，直接計(jì)算n=4，5，6集合M的子集．歸納法得出S_n．
（2）利用組合的公式展開(kāi)各項(xiàng)計(jì)算即可得證．

解答 解：（1）由題意：整數(shù)n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有4個(gè)元素的子集記為A₁，A₂，A₃，…，${A_{C_n^4}}$．
當(dāng)n=4時(shí)，集合M只有1個(gè)符合條件的子集，S₄=1+2+3+4=10，
當(dāng)n=5時(shí)，集合M每個(gè)元素出現(xiàn)了$C_4^3$次，S₅=$C_4^3（{1+2+3+4+5}）$=60，
當(dāng)n=6時(shí)，集合M每個(gè)元素出現(xiàn)了$C_5^3$次，S₆=$C_5^3（{1+2+3+4+5+6}）$=210，
所以，當(dāng)集合M有n個(gè)元素時(shí)，每個(gè)元素出現(xiàn)了$C_{n-1}^3$，故S_n=$C_{n-1}^3$•$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）證明：由（1）可得S_n=$C_{n-1}^3$•$\frac{n（n+1）}{2}$．
∵S_n=$C_{n-1}^3$•$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{12}（{n+1}）n（{n-1}）（{n-2}）（{n-3}）=10C_{n+1}^5$，
則S₄+S₅+…+S_n=10（${C}_{5}^{5}{+C}_{6}^{5}{+C}_{7}^{5}{+…+C}_{n+1}^{5}$）=$10C_{n+2}^6$．
得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的理解和運(yùn)用能力，還考查了組合的公式的計(jì)算化簡(jiǎn)能力．屬于中檔題．