10.若f(x)=x-1-alnx,g(x)=$\frac{ex}{e^x}$,a<0,且對(duì)任意x1,x2∈[3,4](x1≠x2),|f(x1)-f(x2)|<|$\frac{1}{{g({x_1})}}$-$\frac{1}{{g({x_2})}}$|的恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3-$\frac{2}{3}{e}^{2}$,0).

分析 由題意可設(shè)x1<x2,則$|f({x_1})-f({x_2})|<|\frac{1}{{g({x_1})}}-\frac{1}{{g({x_2})}}|$ 等價(jià)于$f({x_2})-f({x_1})<\frac{1}{{g({x_2})}}-\frac{1}{{g({x_1})}}$,即$f({x_2})-\frac{1}{{g({x_2})}}<f({x_1})-\frac{1}{{g({x_1})}}$;
令h(x)=f(x)-$\frac{1}{g(x)}$,轉(zhuǎn)化為h(x)在x∈(3,4)上恒成立問(wèn)題.

解答 解:易知$f(x),\frac{1}{g(x)}$在x∈[3,4]上均為增函數(shù),
不妨設(shè)x1<x2,則$|f({x_1})-f({x_2})|<|\frac{1}{{g({x_1})}}-\frac{1}{{g({x_2})}}|$ 等價(jià)于$f({x_2})-f({x_1})<\frac{1}{{g({x_2})}}-\frac{1}{{g({x_1})}}$,
即$f({x_2})-\frac{1}{{g({x_2})}}<f({x_1})-\frac{1}{{g({x_1})}}$;
令$h(x)=f(x)-\frac{1}{g(x)}=x-1-alnx-\frac{e^x}{ex}$,則h(x)在x∈[3,4]為減函數(shù),
則$h{(x)^'}=1-\frac{a}{x}-\frac{{{e^x}({x-1})}}{{e{x^2}}}≤0$在x∈(3,4)上恒成立,
∴$a≥x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x},x∈[{3,4}]$恒成立;
令$u(x)=x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x},x∈[{3,4}]$,
∴$u'(x)=1-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}(x-1)}}{x^2}=1-{e^{x-1}}[{{{({\frac{1}{x}-\frac{1}{2}})}^2}+\frac{3}{4}}],x∈[{3,4}]$,
∴u(x)為減函數(shù),∴u(x)在x∈[3,4]的最大值為$u(3)=3-\frac{2}{3}{e^2}$;
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3-$\frac{2}{3}{e}^{2}$,0).
故答案為:[3-$\frac{2}{3}{e}^{2}$,0).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí),考查靈活運(yùn)用有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.本題屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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10.已知關(guān)于x的不等式kx2-2x+3k<0.
(1)若不等式的解集為{x|x<-3或x>-1},求k的值;
(2)若不等式的解集為∅,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

1.如圖所示,在△ABO中,$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$,AD與BC相交于點(diǎn)M,設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a$,$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$.試用$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{OM}$,則( 。
A.$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\overrightarrow a+\frac{2}{3}\overrightarrow b$B.$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{7}\overrightarrow a+\frac{3}{7}\overrightarrow b$C.$\overrightarrow{OM}=\frac{2}{5}\overrightarrow a+\frac{3}{4}\overrightarrow b$D.$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{7}\overrightarrow a+\frac{3}{7}\overrightarrow b$

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18.設(shè)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=\sqrt{3}+sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù))表示曲線C.
(Ⅰ)寫(xiě)出曲線C的普通方程,并說(shuō)明它的軌跡;
(Ⅱ)求曲線C上的動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

5.已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+ax(a∈R),且f(2)=6,則f(1)=4.

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15.已知整數(shù)n≥4,集合M={1,2,3,…,n}的所有含有4個(gè)元素的子集記為A1,A2,A3,…,${A_{C_n^4}}$.
設(shè)A1,A2,A3,…,${A_{C_n^4}}$中所有元素之和為Sn
(1)求S4,S5,S6并求出Sn
(2)證明:S4+S5+…+Sn=10Cn+26

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2.已知點(diǎn)A($\sqrt{3}$+1,0),B(0,2).若直線l:y=k(x-1)+1與線段AB相交,則直線l傾斜角α的取值范圍是( 。
A.[$\frac{3π}{4}$,$\frac{5π}{6}$]B.[0,$\frac{3π}{4}$]C.[0,$\frac{3π}{4}$]∪[$\frac{5π}{6}$,π)D.[$\frac{5π}{6}$,π)

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19.已知a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a,b∈R,則計(jì)算(lg2)3+3lg2•lg5+(lg5)3+$\frac{1}{2}$結(jié)果是$\frac{3}{2}$.

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20.圓x2+y2-x+2y=0的圓心坐標(biāo)為$(\frac{1}{2},-1)$.

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同步練習(xí)冊(cè)答案