Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=4，S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{-3×{4}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用遞推公式與等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1，
∴n=1時，a₁+a₁+a₂=$\frac{5}{3}{a}_{2}$，解得a₂=-12．
n≥2時，S_n-1+S_n=$\frac{5}{3}{a}_{n}$，可得：a_n+a_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1+$\frac{5}{3}{a}_{n}$，
化為：a_n+1=4a_n，
而a₂=-a₁，
∴數(shù)列{a_n}從第二項起為等比數(shù)列．
∴n≥2時，a_n=-12×4^n-2=-3×4^n-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{-3×{4}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{-3×{4}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了遞推公式與等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．