【題目】如圖，已知圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱錐，為圓柱的一條母線(xiàn)，，為下底面圓的直徑，．

（Ⅰ）在圓柱的上底面圓內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面？證明你的結(jié)論．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，求四棱錐體積的最大值．

【答案】（Ⅰ）存在，為上底面圓的圓心，證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）畫(huà)出圖形，取上底面圓的圓心為，連接，，，，先證，再證平面即可；

（Ⅱ），然后利用不等式求出最值即可.

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)為上底面圓的圓心時(shí)，平面．

如圖，取上底面圓的圓心為，連接，，，，

則，．

所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以．

又，所以四邊形為平行四邊形，

所以．

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面．

故點(diǎn)為上底面圓的圓心時(shí)，平面；

（Ⅱ）在底面圓中，由得．

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以四棱錐體積的最大值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：不等式在區(qū)間上恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知空間幾何體是由圓柱切割而成的陰影部分構(gòu)成，其中，為下底面圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，，為上底面圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，且，圓柱底面半徑是1，高是2，則空間幾何體可以無(wú)縫的穿過(guò)下列哪個(gè)圖形（ ）

A.橢圓B.等腰直角三角形C.正三角形D.正方形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年1月10日，引發(fā)新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后，科學(xué)家們便開(kāi)始了病毒疫苗的研究過(guò)程.但是類(lèi)似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做動(dòng)物試驗(yàn).已知一個(gè)科研團(tuán)隊(duì)用小白鼠做接種試驗(yàn)，檢測(cè)接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗(yàn)設(shè)計(jì)是：每天接種一次，3天為一個(gè)接種周期.已知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)抗體的概率為，假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無(wú)關(guān).

（1）求一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)的分布列；

（2）已知每天接種一次花費(fèi)100元，現(xiàn)有以下兩種試驗(yàn)方案：

①若在一個(gè)接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗(yàn)，進(jìn)行下一接種周期，試驗(yàn)持續(xù)三個(gè)接種周期，設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元；

②若在一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體，該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，已知試驗(yàn)至多持續(xù)三個(gè)接種周期，設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元.

比較隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司以客戶(hù)滿(mǎn)意為出發(fā)點(diǎn)，隨機(jī)抽選2000名客戶(hù)，以調(diào)查問(wèn)卷的形式分析影響客戶(hù)滿(mǎn)意度的各項(xiàng)因素．每名客戶(hù)填寫(xiě)一個(gè)因素，下圖為客戶(hù)滿(mǎn)意度分析的帕累托圖．帕累托圖用雙直角坐標(biāo)系表示，左邊縱坐標(biāo)表示頻數(shù)，右邊縱坐標(biāo)表示頻率，分析線(xiàn)表示累計(jì)頻率，橫坐標(biāo)表示影響滿(mǎn)意度的各項(xiàng)因素，按影響程度（即頻數(shù)）的大小從左到右排列，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）．

①35.6%的客戶(hù)認(rèn)為態(tài)度良好影響他們的滿(mǎn)意度；

②156位客戶(hù)認(rèn)為使用禮貌用語(yǔ)影響他們的滿(mǎn)意度；

③最影響客戶(hù)滿(mǎn)意度的因素是電話(huà)接起快速；

④不超過(guò)10%的客戶(hù)認(rèn)為工單派發(fā)準(zhǔn)確影響他們的滿(mǎn)意度．

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)與1個(gè)短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為2。

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，以線(xiàn)段AB為直徑的圓截直線(xiàn)x＝1所得的弦的長(zhǎng)度為，求直線(xiàn)l的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為.(為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的直角坐標(biāo)和 l的直角坐標(biāo)方程；

（2）把曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到曲線(xiàn)，為上動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值.

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