Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：不等式在區(qū)間上恒成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo)，分別研究，時，的正負(fù)，即可得出單調(diào)性；

（Ⅱ）根據(jù)題意，先得到“不等式在區(qū)間上恒成立”， 令，對函數(shù)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，求出最值，即可證明結(jié)論成立.

（Ⅰ）函數(shù)的定義域是．

由，得，

當(dāng)時，，，所以．所以，即；

當(dāng)時，，，所以由兩邊同時乘以正數(shù)，得，

即．所以，即．

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）證明：“不等式在區(qū)間上恒成立”等價于“不等式在區(qū)間上恒成立”．

令，則進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為需要證明“不等式在區(qū)間上恒成立”．

求導(dǎo)得，令，則．

因為當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)在區(qū)間上最多有一個零點．

又因為，，所以存在唯一的，使得．

且當(dāng)時，；當(dāng)時，，

即當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

從而．

由，得，即，兩邊取對數(shù)，得，

所以．

所以．即．

從而證得不等式在區(qū)間上恒成立．