【題目】設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)證明:不等式在區(qū)間上恒成立.

【答案】(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增;(Ⅱ)證明見解析.

【解析】

(Ⅰ)先對函數(shù)求導(dǎo),分別研究時,的正負(fù),即可得出單調(diào)性;

(Ⅱ)根據(jù)題意,先得到“不等式在區(qū)間上恒成立”, 令,對函數(shù)求導(dǎo),研究其單調(diào)性,求出最值,即可證明結(jié)論成立.

(Ⅰ)函數(shù)的定義域是

,得

當(dāng)時,,所以.所以,即;

當(dāng)時,,,所以由兩邊同時乘以正數(shù),得,

.所以,即

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)證明:“不等式在區(qū)間上恒成立”等價于“不等式在區(qū)間上恒成立”.

,則進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為需要證明“不等式在區(qū)間上恒成立”.

求導(dǎo)得,令,則

因為當(dāng)時,,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在區(qū)間上最多有一個零點.

又因為,所以存在唯一的,使得

且當(dāng)時,;當(dāng)時,,

即當(dāng)時,;當(dāng)時,,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

從而

,得,即,兩邊取對數(shù),得

所以

所以.即

從而證得不等式在區(qū)間上恒成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱中,分別是棱,的中點,點棱上,且,.

(1)求證:平面;

(2)當(dāng)時,求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】PM25是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo),我國采用世衛(wèi)組織的最寬值限定值,即PM25日均值在以下空氣質(zhì)量為一級,在空氣質(zhì)量為二級,超過為超標(biāo),如圖是某地11日至10日的PM25(單位:)的日均值,則下列說法正確的是(

A.10天中PM25日均值最低的是13

B.1日到6PM25日均值逐漸升高

C.10天中恰有5天空氣質(zhì)量不超標(biāo)

D.10天中PM25日均值的中位數(shù)是43

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“新冠肺炎”爆發(fā)后,某醫(yī)院由甲、乙、丙、丁、戊5位醫(yī)生組成的專家組到某市參加抗擊疫情.五位醫(yī)生去乘高鐵,按規(guī)定每位乘客在進(jìn)站前都需要安檢,當(dāng)時只有3個安檢口開通,且沒有其他旅客進(jìn)行安檢.5位醫(yī)生分別從3個安檢口進(jìn)行安檢,每個安檢口都有醫(yī)生去安檢且不同的安檢順序視為不同的安檢,則甲、乙2位醫(yī)生不在同一個安檢口進(jìn)行安檢的概率為_____.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為:為參數(shù),已知直線,直線以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.

1)求曲線C以及直線的極坐標(biāo)方程;

2)若直線與曲線C分別交于O、A兩點,直線與曲線C分別交于OB兩點,求的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍..

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知以線段EF為直徑的圓內(nèi)切于圓Ox2+y216

1)若點F的坐標(biāo)為(﹣2,0),求點E的軌跡C的方程;

2)在(1)的條件下,軌跡C上存在點T,使得,其中M,N為直線ykx+bb≠0)與軌跡C的交點,求△MNT的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) .

(Ⅰ)當(dāng)時,判斷的單調(diào)性;

(Ⅱ)當(dāng)時,恒有,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知圓柱內(nèi)有一個三棱錐為圓柱的一條母線,,為下底面圓的直徑,

(Ⅰ)在圓柱的上底面圓內(nèi)是否存在一點,使得平面?證明你的結(jié)論.

(Ⅱ)設(shè)點為棱的中點,,求四棱錐體積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案