Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=a＞0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•a_n+1
（1）若{a_n}為等比數(shù)列，求{b_n}的前n項的和s_n；
（2）若b_n=3ⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若b_n=n+2，求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞2

n+2

-3．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分a=1和a≠1求出等比數(shù)列{a_n}的通項公式，進(jìn)一步求得{b_n}是等比數(shù)列，則其前n項和s_n可求；
（2）把b_n=3ⁿ代入b_n=a_n•a_n+1，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)得到數(shù)列{a_n}的偶數(shù)項和奇數(shù)項為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（3）由b_n=n+2得到a_na_n+1=n+2，進(jìn)一步得到an+1-an-1=

1

an

，代入

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

整理后利用基本不等式證得結(jié)論．

解答： （1）解：由a₁=1，a₂=a＞0，若{a_n}為等比數(shù)列，
則an=an-1，∴bn=an-1•an=a2n-1．
當(dāng)a=1時，b_n=1，則s_n=n；
當(dāng)a≠1時，sn=

a(1-a2n)

1-a2

．
（2）解：∵3ⁿ=a_n•a_n+1，
∴3^n-1=a_n-1•a_n（n≥2，n∈N），
∴

an+1

an-1

=3(n≥2，n∈N)．
當(dāng)n=2k+1（k∈N^*）時，

a2k+2

a2k

=3
∴a2k=a2•3k-1=a•3k-1；
當(dāng)n=2k，（k∈N^*）時，

a2k+1

a2k-1

=3
∴a2k-1=3k-1．
∴an=

3 n-1 2 (n=2k-1) a•3 n-2 2 (n=2k)

．
（3）證明：∵a_na_n+1=n+2 ①，
∴a_n-1a_n=n+1（n≥2）②，
①-②得an(an+1-an-1)=1∴an+1-an-1=

1

an

(n≥2)
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=（a₃-a₁）+（a₄-a₂）+…+（a_n+1-a_n-1）=a_n+a_n+1-a₁-a₂
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=an+an+1-a1-a2+

1

a1

=an+an+1-3．
∵an+an+1＞2

an•an+1

=2

n+2

，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞2

n+2

-3．

點評：本題是數(shù)列與不等式綜合題，考查了等比關(guān)系的確定，考查了首項轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．